Exercice 12.10 : Intersection d'une quadrique avec un plan
et projection
Soit (S) la surface d'équation : x y + yz + zx = −2.
1. Préciser la nature de (S).
2. Déterminer l'intersection (C) de (S) et du plan x + y + z = 0.
3. Que peut-on dire de la projection orthogonale de (C) sur le plan Ox y ?
Pour la première question, pas d'hésitation : réduire la quadrique.
1. On peut écrire l'équation de la quadrique sous la forme :
2x y + 2yz + 2zx + 4 = 0 = f (x,y,z) ,
ce qui conduit à la matrice symétrique associée :
A =



0 1 1
1 0 1
1 1 0


 = J − I 3 avec J =



1 1 1
1 1 1
1 1 1



La matrice J est de rang 1. Son noyau est le plan d'équation :
x + y + z = 0.
D'autre part, J



1
1
1


 = 3



1
1
1


 montre que 3 est valeur propre de J.
Par suite, la matrice A admet : 0 − 1 = −1 comme valeur propre double ;
3 − 1 = 2 comme valeur propre simple.
L'espace propre E −1 de A est le plan x + y + z = 0. Il admet pour base
orthonormale les vecteurs
− →
I =
1
√
2



1
−1
0


 et
− →
J =
1
√
6



1
1
−2


.
L'espace propre E 2 est la droite engendrée par le vecteur
− →
K =
1
√
3



1
1
1



Comme
− − →
grad f (x,y,z) = 0 ⇐⇒ x = y = z = 0 , la quadrique admet le
point O pour centre.
Dans le repère
O;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K
, l'équation de (S) s'écrit :
−X 2 − Y 2 + 2Z 2 = −4 soit :
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Chapitre 12 • Courbes et surfaces