• Équation du cône
Le cône cherché est l'ensemble des points M(x,y,z) qui vérifient
− − →
O M = k
−−→
O M 0 avec k ∈ R et M 0 ∈ (C), soit :

 
 
x = kx 0
y = ky 0
z = kz 0
et
y
2
0 = 2 px 0
x 0 + z 0 = 1
On en déduit :
x + z = k ; x 0 =
x
x + z
; y 0 =
y
x + z
(si k = / 0)
En reportant dans y
2
0 = 2 px 0 , on obtient l'équation du cône :
2 px(x + z) − y
2
= 0 .
• Cône de révolution ?
On vient d'obtenir l'équation d'une quadrique dont la matrice symétrique
associée est :
A =



2 p 0 p
0 −1 0
p
0 0



Cherchons les valeurs propres de A.
det(A − λI ) =
2 p − λ
0
p
0
−1 − λ 0
p
0
−λ
= −(1 + λ)
2 p − λ p
p
−λ
= −(λ + 1)(λ
2
− 2λ p − p 2 )
Les valeurs propres sont donc : −1, p + p
√
2, p − p
√
2.
Le cône est de révolution si, et seulement si, il y a une valeur propre double,
c'est-à-dire :
– si p + p
√
2 = −1, soit p = 1 −
√
2 ;
– si p − p
√
2 = −1, soit p = 1 +
√
2.
354
Chapitre 12 • Courbes et surfaces