a une solution unique, ce qui montre que c'est une quadrique à centre
a
2
,
a
2
,
a
2
. La matrice symétrique A =



0 1 1
1 0 1
1 1 0


 admet les valeurs
propres −1 (double) et 2 (calculs faciles et faits dans l’exercice 12.10), et
une base orthonormale de vecteurs propres
− →
I ,
− →
J ,
− →
K (qu'il n'est pas
nécessaire de déterminer).
Dans le repère
;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K
, l'équation de la quadrique prend la forme
réduite :
−X
2
− Y
2
+ 2Z
2
+ k = 0 .
La valeur de la constante k s'obtient en calculant f (() dans l'ancien et dans
le nouveau repère :
f (() = −
3
4
a 2 + a =
k
2
(car la matrice associée à f est
1
2
A).
L'équation réduite de la quadrique est donc :
X
2
+ Y
2
− 2Z
2
= 2a
1 −
3
4
a
Si le second membre est > 0, soit a ∈
0,
4
3
, c'est un hyperboloïde à une
nappe.
Si le second membre est nul, c'est un cône de sommet .
Si le second membre est < 0, c'est un hyperboloïde à deux nappes.
Exercice 12.9 : Détermination d'un cône
Quelle est l'équation du cône de sommet O s'appuyant sur la courbe :
(C)
y 2 = 2 px
x + z = 1
( p = / 0)
S'agit-il d'un cône de révolution ?
Vous pouvez penser à engendrer le cône par des homothéties.
Pour savoir si le cône est de révolution, il y aura une discussion suivant p.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 12 • Courbes et surfaces