Exercice 12.8 : Quadrique dépendant d'un paramètre
Discuter suivant la valeur de a ∈ R la nature de la surface d'équation :
x(a − y) + y(a − z) + z(a − x) = a .
Il s'agit d'une quadrique d'équation :
f (x,y,z) = x y + yz + zx − a(x + y + z) + a = 0 .
• Première méthode
L'équation de la quadrique peut encore s'écrire :
(x + y + z)
2
− (x
2
+ y
2
+ z
2
) − 2a(x + y + z) + 2a = 0 .
Il est alors pertinent de faire un changement de repère orthonormal, de
façon que l'axe (O Z) soit dirigé par − → u =
1
√
3
(1,1,1) .
On a alors Z =
x + y + z
√
3
· Avec x 2 + y 2 + z 2 = X 2 + Y 2 + Z 2 , on
obtient :
(Z
√
3) 2 − (X 2 + Y 2 + Z 2 ) − 2a Z
√
3 + 2a = 0
⇐⇒ X 2 + Y 2 = 2Z 2 − 2a Z
√
3 + 2a
⇐⇒ X 2 + Y 2 = 2
Z −
a
√
3
2
2 +
a
2
(4 − 3a)
Il s'agit donc d'une surface de révolution d'axe O Z.
– si a ∈
0,
4
3
, c'est un hyperboloïde à une nappe ;
– si a ∈ {0,
4
3
}, c'est un cône, de sommet S(0,0,
a
√
3
2
) dans le repère
O XY Z et donc
a
2
,
a
2
,
a
2
dans le repère Ox yz.
– si a < 0 ou a >
4
3
, c'est un hyperboloïde à deux nappes.
• Deuxième méthode
Le système :
− − →
grad f (x,y,z) =
− →
0 ⇐⇒

 
 
y + z − a = 0
x + z − a = 0
y + x − a = 0
⇐⇒ x = y = z =
a
2
352
Chapitre 12 • Courbes et surfaces