Un plan (P k ) orthogonal à (D) a pour équation x + y + z = k. Étudions
son intersection avec la courbe (C). Avec z = 0, on a :
x + y = k
x 3 + y 3 = 3ax y
⇐⇒
x + y = k
k(x 2 + y 2 − x y) = 3ax y
⇐⇒
x + y = k
k(k 2 − 3x y) = 3ax y
⇐⇒
x + y = k
3x y(a + k) = k 3
Si k = 0, la seule solution est x = y = 0.
Si k = / 0, on a k = / − a sinon on aurait k = −a = 0 ce qui serait contradictoire avec l'hypothèse a > 0. Les réels x et y sont donc les solutions de
l'équation du second degré en t.
t
2
− kt +
k 3
3(a + k)
= 0 .
Le discriminant = k 2 −
4k 3
3(a + k)
=
k 2 (3a − k)
3(a + k)
est positif si, et seulement si, −a < k 3a.
Si cette condition n'est pas vérifiée, l'intersection de (P k ) et de la surface
(S) est vide.
Si −a < k 3a (avec k = / 0), cette intersection n'est pas vide. Notons
M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) un de ses points.
L'intersection (P k ) ∩ (S) est le cercle défini comme intersection du plan
(P k ) et de la sphère :
x 2 + y 2 + z 2 = x
2
0 + y
2
0 = (x 0 + y 0 ) 2 − 2x 0 y 0 = k 2 −
2k 3
3(a + k)
=
k 2 (3a + k)
3(a + k)
·
En remplaçant k par x + y + z, on en déduit que la surface engendrée (S)
est incluse dans la surface (S ) d'équation :
3(a + x + y + z)(x
2
+ y
2
+ z
2
) = (x + y + z)
2
(3a + x + y + z) .
Attention : on n'obtient pas (S ) en entier puisque (S) doit vérifier la condition
x + y + z 3a.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 12 • Courbes et surfaces