• Étude de (S 3 )
Avec le même changement de repère que pour les autres surfaces, l'équation
de (S 3 ) devient :
2|X| + | − X +
√
3Y | + |X +
√
3Y | = 2k
√
2 .
Comme cette équation est inchangée quand on remplace X par −X, ou Y
par −Y, il suffit de la préciser dans le premier quadrant où X 0 et Y 0 .
– Si X
√
3Y, l'équation devient : X +
√
3Y = k
√
2 et l'équation de (S 2 )
se réduit aussi à la même expression.
– Si X
√
3Y, l'équation devient : 2X = k
√
2 et l'équation de (S 2 ) se
réduit aussi à la même expression.
La surface (S 3 ) est donc identique à la surface (S 2 ).
• Démonstration directe de (S 2 ) = (S 3 )
Nous allons simplifier les premiers membres respectifs g(x,y,z) et h(x,y,z)
de (S 2 ) et de (S 3 ).
Posons a = x − y et b = y − z.
– Premier cas : ab 0
g(x,y,z) = max
|a|,|b|,|a + b|
= |a + b|
h(x,y,z) = |a| + |b| + |a + b| = 2|a + b|
– Second cas : ab < 0, en choisissant des notations telles que |a| |b|
g(x,y,z) = |a|
h(x,y,z) = |a| + |b| + |a| − |b| = 2|a|
Donc :
∀(x,y,z) ∈ R
3 2g(x,y,z) = h(x,y,z) .
Exercice 12.7 : Surface engendrée par rotation
Soit a > 0. Déterminer la surface (S) engendrée par la rotation de la courbe :
(C)
x 3 + y 3 − 3ax y = 0
z = 0
tournant autour de la droite (D) : x = y = z.
Il faut considérer les plans orthogonaux à (D) et étudier leur intersection avec la
surface.
Si avez du mal, rassurez-vous : c'est un oral considéré comme difficile. Et soyez
satisfait(e) d'obtenir une surface (S ) qui contient (S).
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Chapitre 12 • Courbes et surfaces