A =



2 −1 −1
−1 2 −1
−1 −1 2



et on sait qu'elle est diagonalisable sur R. Son polynôme caractéristique
est :
P A (λ) =
2 − λ −1
−1
−1 2− λ −1
−1
−1 2− λ
=
−λ −1
−1
−λ 2 − λ −1
−λ −1 2− λ
= −λ
1 −1
−1
1 2 − λ −1
1 −1 2− λ
= −λ
1
0
0
1 3 − λ
0
1
0
3− λ
= −λ(λ − 3)
2
L'espace propre E 3 est l'ensemble des (x,y,z) ∈ R 3 tels que :
x + y + z = 0.
Il admet pour base orthonormale les vecteurs
− →
I =
1
√
2



1
−1
0


 et
− →
J =
1
√
6



1
1
−2


.
L'espace propre E 0 est la droite engendrée par le vecteur
− →
K =
1
√
3



1
1
1



Après avoir diagonalisé A, pris une origine qui annule
− − →
grad f et pour laquelle la valeur de f n'est pas modifiée, nous obtenons la forme réduite de (S 1 )
dans le repère
O;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K
:
3X
2
+ 3Y
2
= k .
Il s'agit d'un cylindre de révolution d'axe dirigé par
− →
K .
Après avoir choisi le repère précédent, vous pouvez aussi substituer dans l'équation
de (S 1 ) le changement de coordonnées :
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Chapitre 12 • Courbes et surfaces