A =



1 −2 0
−2 4 0
0
0 5



Les valeurs propres λ de A sont les zéros du polynôme caractéristique :
P A (λ) =
1 − λ −2
0
−2 4− λ
0
0
0
5− λ
= (5 − λ)
1 − λ −2
−2 4− λ
= −λ (λ − 5) 2
L'espace propre E 0 a pour base
− →
V 1
2
√
5
,
1
√
5
,0
.
L'espace propre E 5 est le plan d'équation 2x + y = 0. Comme dim E 5 = 2,
A est diagonalisable.
En considérant une base orthonormale
− →
V 2 ,
− →
V 3
de E 5 et en utilisant le
nouveau repère
O,
− →
V 1 ,
− →
V 2 ,
− →
V 3
, on rejoint la solution précédente.
Exercice 12.6 : Variations sur les normes usuelles du plan
Soit k > 0. Étudier les surfaces d'équations :
(S 1 ) : (x − y) 2 + (y − z) 2 + (z − x) 2 = k
(S 2 ) : max
|x − y|,|y − z|,|z − x|
= k
(S 3 ) : |x − y| + |y − z| + |z − x| = 2k
Le changement de repère pour étudier (S 1 ) fait partie de vos connaissances. Utilisez
le même pour les autres surfaces.
• Étude de (S 1 )
Il s'agit d'une quadrique dont l'équation peut aussi s'écrire :
f (x,y,z) = 2x
2
+ 2y
2
+ 2z
2
− 2x y − 2yz − 2zx − k = 0 .
Si la quadrique a un centre, il vérifie :
− − →
grad f =
− →
0
ce qui donne un système dont la solution est la droite x = y = z. Nous
choisissons une nouvelle origine sur cette droite, c'est-à-dire que nous ne
changerons pas d'origine !
La matrice symétrique réelle associée à f est :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 12 • Courbes et surfaces