En prenant comme nouvelle origine un point (1,0,0) de , l'équation de
(S) devient :
(X − 2Y )
2
+ 5Z
2
= 1 .
Soit P et Q les deux plans d'équations X − 2Y = 0 et Z = 0. Ils sont perpendiculaires et ont pour intersection la droite . L'équation de (S) peut
s'écrire :
(X − 2Y )
2
+ 5Z
2
= 1 ⇐⇒ d(M,P)
2
+ d(M,Q)
2
=
1
5
·
C'est donc l'équation d'un cylindre de révolution, d'axe et de rayon
R =
1
√
5
·
• Deuxième solution
L'équation de (S) se transforme :
(x − 2y)
2
+ 5z
2
− 2 (x − 2y) = 0
Cette expression nous suggère le changement de repère orthonormé
O,
− →
I ,
− →
J ,
− →
K
.

      
      
− →
I =
1
√
5
− →
i − 2
− →
j
− →
J =
1
√
5
2
− →
i +
− →
j
− →
K =
− →
k
qui donne

     
     
X =
1
√
5
x − 2y
Y =
1
√
5
2x + y
Z = z
Dans ce repère, l'équation de (S) devient :
X
2
+ Z
2
−
2
√
5
X = 0 ⇐⇒
X −
1
√
5
2
+ Z
2
−
1
5
= 0 ,
ce qui est l'équation du cylindre de révolution de rayon
1
√
5
et d'axe :



X =
1
√
5
Z = 0
⇐⇒
x − 2y − 1 = 0
z = 0
• Troisième solution
La partie quadratique de l'équation de (S) a pour matrice :
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Chapitre 12 • Courbes et surfaces