• Troisième méthode : avec des droites tangentes
Le cylindre est la réunion des droites (D), de vecteur directeur − → u , tangentes à (S).
Une telle droite (D) a pour équations
x = z + a
y = z + b
z ∈ R
Son intersection avec la sphère est donnée par :
(z + a)
2
+ (z + b)
2
+ z
2
= 1 ⇐⇒ 3z
2
+ 2(a + b)z + a
2
+ b
2
− 1 = 0 .
(D) est tangente à (S) si, et seulement si, l'équation en z a une racine
double, soit :
= 0 ⇐⇒ (a + b) 2 − 3(a 2 + b 2 ) + 3 = 0 ⇐⇒ a 2 + b 2 − ab =
3
2
En reportant a = x − z et b = y − z dans cette égalité, on obtient l'équation du cylindre :
(x − z) 2 + (y − z) 2 − (x − z)(y − z) =
3
2
⇐⇒ x 2 + y 2 + z 2 − x y − yz − zx =
3
2
·
L'intersection du cylindre et de la sphère s'appelle le contour apparent de la sphère
pour la direction engendrée par − → u .
L'intérêt de la deuxième méthode, c'est qu'elle peut s'appliquer à une surface quelconque.
Exercice 12.5 : Étude d'une quadrique
Soit (S) la surface définie par :
x
2
+ 4y
2
+ 5z
2
− 4x y − 2x + 4y = 0 .
Montrer que (S) est une surface de révolution et préciser ses éléments.
Vous pouvez transformer l'équation de (S), ou diagonaliser la matrice de la forme
quadratique, ou encore chercher les centres de symétrie en écrivant
− − →
grad f (x,y,z) = 0.
• Première solution
Les centres de symétrie de (S) vérifient :
− − →
grad f (x,y,z) = 0, soit
0 =
∂ f
∂ x
(x,y,z) = 2x − 4y − 2
0 =
∂ f
∂ y
(x,y,z) = 8y − 4x + 4
0 =
∂ f
∂z
(x,y,z) = 10z
⇐⇒
x − 2y − 1 = 0
z = 0
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
345
Chapitre 12 • Courbes et surfaces
Le cylindre est la réunion des droites (D), de vecteur directeur − → u , tangentes à (S).
Une telle droite (D) a pour équations
x = z + a
y = z + b
z ∈ R
Son intersection avec la sphère est donnée par :
(z + a)
2
+ (z + b)
2
+ z
2
= 1 ⇐⇒ 3z
2
+ 2(a + b)z + a
2
+ b
2
− 1 = 0 .
(D) est tangente à (S) si, et seulement si, l'équation en z a une racine
double, soit :
= 0 ⇐⇒ (a + b) 2 − 3(a 2 + b 2 ) + 3 = 0 ⇐⇒ a 2 + b 2 − ab =
3
2
En reportant a = x − z et b = y − z dans cette égalité, on obtient l'équation du cylindre :
(x − z) 2 + (y − z) 2 − (x − z)(y − z) =
3
2
⇐⇒ x 2 + y 2 + z 2 − x y − yz − zx =
3
2
·
L'intersection du cylindre et de la sphère s'appelle le contour apparent de la sphère
pour la direction engendrée par − → u .
L'intérêt de la deuxième méthode, c'est qu'elle peut s'appliquer à une surface quelconque.
Exercice 12.5 : Étude d'une quadrique
Soit (S) la surface définie par :
x
2
+ 4y
2
+ 5z
2
− 4x y − 2x + 4y = 0 .
Montrer que (S) est une surface de révolution et préciser ses éléments.
Vous pouvez transformer l'équation de (S), ou diagonaliser la matrice de la forme
quadratique, ou encore chercher les centres de symétrie en écrivant
− − →
grad f (x,y,z) = 0.
• Première solution
Les centres de symétrie de (S) vérifient :
− − →
grad f (x,y,z) = 0, soit
0 =
∂ f
∂ x
(x,y,z) = 2x − 4y − 2
0 =
∂ f
∂ y
(x,y,z) = 8y − 4x + 4
0 =
∂ f
∂z
(x,y,z) = 10z
⇐⇒
x − 2y − 1 = 0
z = 0
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 12 • Courbes et surfaces