Dans ce repère, le cylindre a pour équation : X 2 + Y 2 = 1 .
On peut revenir au repère initial,
– soit en choisissant
− →
I et
− →
J ;
– soit en écrivant : x 2 + y 2 + z 2 = X 2 + Y 2 + Z 2 ,
puis : Z =
1
√
3
x +
1
√
3
y +
1
√
3
z .
L'équation du cylindre dans le repère initial est donc :
1 = x 2 + y 2 + z 2 −
1
3
(x + y + z) 2 , soit après développement et simplication :
x
2
+ y
2
+ z
2
− x y − yz − zx =
3
2
·
• Deuxième méthode : avec des plans tangents
En tout point M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ), la sphère (S) admet un plan tangent d'équation :
2x 0 x + 2y 0 y + 2z 0 z = 1 .
Le cylindre circonscrit à (S) de direction − → u est la réunion des tangentes
dirigée par − → u . Il faut donc que − → u appartienne à la direction du plan tangent précédent soit :
x 0 + y 0 + z 0 = 0 .
L'intersection de la sphère et du cylindre est donc le cercle :
(C)
x
2
0 + y
2
0 + z
2
0 = 1
x 0 + y 0 + z 0 = 0
Le cylindre cherché est l'ensemble des points M(X,Y,Z ) tels que
−−→
M 0 M = k − → u avec k ∈ R et M 0 ∈ (C).
On a donc :
(X − k) 2 + (Y − k) 2 + (Z − k) 2 = 1
X + Y + Z = 3k
Développons la première égalité et substituons :
X 2 + Y 2 + Z 2 − 2k(X + Y + Z ) + 3k 2 = 1 = X 2 + Y 2 + Z 2 − 3k 2
ce qui donne :
X 2 + Y 2 + Z 2 −
1
3
(X + Y + Z ) 2 = 1 , soit :
X
2
+ Y
2
+ Z
2
− XY − Y Z − Z X =
3
2
·
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Chapitre 12 • Courbes et surfaces