(D 1 )
2x + 3y − z = 0
√
3 x + 2 (
√
3 − 1) y = 0
(D 2 )
2x + 3y − z = 0
√
3 x + 2 (
√
3 + 1) y = 0
On peut choisir des vecteurs directeurs respectifs
− →
V 1 et
− →
V 2 , et en déduire
que l'angle θ des deux génératrices est tel que :
cos θ =
|
− →
V 1 .
− →
V 2 |
− →
V 1
− →
V 2
=
1
13
·
L'angle aigu des deux génératrices est donc arccos
1
13
≈ 1,49 rad.
• Deuxième solution
En choisissant de paramétrer le cône :
x = z cos ϕ ; y = z sin ϕ ; z = z ,
l'intersection s'écrit :
1 = 2 cos ϕ + 3 sin ϕ =
2 2 + 3 2 cos (ϕ − ϕ 0 )
d'où ϕ 1 = ϕ 0 + arccos
1
√
13
et ϕ 2 = ϕ 0 − arccos
1
√
13
·
On peut alors choisir comme vecteurs directeurs
− →
V 1 =
cos ϕ 1 , sin ϕ 1 ,1
;
− →
V 2 =
cos ϕ 2 , sin ϕ 2 ,1
et en déduire :
cos θ =
|
− →
V 1 .
− →
V 2 |
− →
V 1
− →
V 2
=
cos ϕ 1 cos ϕ 2 + sin ϕ 1 sin ϕ 2 + 1
2
=
cos (ϕ 1 − ϕ 2 ) + 1
2
= cos 2 ϕ 1 − ϕ 2
2
=
1
13
·
Exercice 12.4 : Équation d'un cylindre
Déterminer une équation du cylindre de direction − → u (1,1,1) et circonscrit à la
sphère d'équation x 2 + y 2 + z 2 = 1.
• Première méthode : avec un nouveau repère
Considérons un nouveau repère orthonormal
O;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K
avec
− →
K =
1
√
3
− → u .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 12 • Courbes et surfaces