Il existe donc deux solutions au problème posé :
– le point M 0 (1,1,1) dont le plan tangent a pour équation :
X + Y − 3Z + 1 = 0 ,
– le point M 0 (4,2,2) dont le plan tangent a pour équation :
X + 2Y − 6Z + 4 = 0 .
• Deuxième solution
La droite D est incluse dans le plan tangent en M 0 si, et seulement si :
∀t ∈ R 2y 0 + x 0 (3t − 3) − 3z
2
0 t + x 0 y 0 = 0 .
Pour que ce polynome de degré 1 en t soit nul, il faut et il suffit que ses
deux coefficients soient nuls. En n'oubliant pas que M 0 ∈
, le problème
posé est caractérisé par un système de trois équations :
3x 0 − 3z
2
0
=
0
2y 0 − 3x 0 + x 0 y 0 =
0
z
3
0 = x 0 y 0
Ce sont les mêmes équations que dans la première solution. La suite est donc
identique.
Exercice 12.3 : Intersection d'un cône et d'un plan
Déterminer l'angle aigu des deux génératrices intersection du cône d'équation
x 2 + y 2 − z 2 = 0 et du plan d'équation 2x + 3y − z = 0.
Pour étudier l'intersection (ou l'inclusion) de deux objets en géométrie analytique,
il est recommandé de représenter l'un sous forme cartésienne et l'autre sous forme
paramétrique.
Remarquons d'abord que le plan passe par le sommet O du cône et donc que
l'intersection est bien constituée par deux génératrices.
Il faut transformer l'une des équations sous forme paramétrique.
• Première solution
Choisissons de paramétrer le plan par x et y. Un point de l'intersection cherchée vérifie donc z = 2x + 3y et
x
2
+ y
2
− (2x + 3y)
2
= 0 ⇐⇒ 3x
2
+ 8y
2
+ 12x y = 0 .
Comme 3x 2 + 8y 2 + 12x y = 3 (x + 2y) 2 − 4y 2
=
√
3 x + 2
√
3 y − 2y
√
3 x + 2
√
3 y + 2y
,
les deux génératrices sont définies comme intersection de plans :
342
Chapitre 12 • Courbes et surfaces
– le point M 0 (1,1,1) dont le plan tangent a pour équation :
X + Y − 3Z + 1 = 0 ,
– le point M 0 (4,2,2) dont le plan tangent a pour équation :
X + 2Y − 6Z + 4 = 0 .
• Deuxième solution
La droite D est incluse dans le plan tangent en M 0 si, et seulement si :
∀t ∈ R 2y 0 + x 0 (3t − 3) − 3z
2
0 t + x 0 y 0 = 0 .
Pour que ce polynome de degré 1 en t soit nul, il faut et il suffit que ses
deux coefficients soient nuls. En n'oubliant pas que M 0 ∈
, le problème
posé est caractérisé par un système de trois équations :
3x 0 − 3z
2
0
=
0
2y 0 − 3x 0 + x 0 y 0 =
0
z
3
0 = x 0 y 0
Ce sont les mêmes équations que dans la première solution. La suite est donc
identique.
Exercice 12.3 : Intersection d'un cône et d'un plan
Déterminer l'angle aigu des deux génératrices intersection du cône d'équation
x 2 + y 2 − z 2 = 0 et du plan d'équation 2x + 3y − z = 0.
Pour étudier l'intersection (ou l'inclusion) de deux objets en géométrie analytique,
il est recommandé de représenter l'un sous forme cartésienne et l'autre sous forme
paramétrique.
Remarquons d'abord que le plan passe par le sommet O du cône et donc que
l'intersection est bien constituée par deux génératrices.
Il faut transformer l'une des équations sous forme paramétrique.
• Première solution
Choisissons de paramétrer le plan par x et y. Un point de l'intersection cherchée vérifie donc z = 2x + 3y et
x
2
+ y
2
− (2x + 3y)
2
= 0 ⇐⇒ 3x
2
+ 8y
2
+ 12x y = 0 .
Comme 3x 2 + 8y 2 + 12x y = 3 (x + 2y) 2 − 4y 2
=
√
3 x + 2
√
3 y − 2y
√
3 x + 2
√
3 y + 2y
,
les deux génératrices sont définies comme intersection de plans :
342
Chapitre 12 • Courbes et surfaces