L'équation de la surface
s'écrit f (x,y,z) = 0 avec f (x,y,z) = z 3 − x y.
Un point singulier de
vérifie :

      
      
∂ f
∂ x
(x,y,z) = −y = 0
∂ f
∂ y
(x,y,z) = −x = 0
∂ f
∂z
(x,y,z) = 3z 2 = 0
Seul le point O(0, 0, 0) (qui appartient bien à
) est un point singulier.
En tout M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) de
, autre que O, il existe donc un plan tangent,
ensemble des points M(X, Y, Z ) tels que :
−−→
M M 0 ·
− − →
grad f (M 0 ) = 0 .
Il a donc pour équation :
−y 0 (X − x 0 ) − x 0 (Y − y 0 ) + 3z
2
0 (Z − z 0 ) = 0 .
Comme M 0 ∈
(c'est-à-dire z
3
0 = x 0 y 0 ), cette équation peut aussi s'écrire :
y 0 X + x 0 Y − 3z
2
0 Z + x 0 y 0 = 0 .
Avant d'écrire que D est incluse dans un tel plan tangent, il est préférable
de la représenter sous forme paramétrique, ce qui est possible sous la forme :
x = 2 ; y = 3t − 3 ; z = t (t ∈ R) .
• Première solution
Un vecteur directeur de la droite est − → u (0,3,1). Ce vecteur doit appartenir
à la direction du plan tangent, c'est-à-dire que :
3x 0 − 3z
2
0 = 0
La droite passe par le point A(2,−3,0). Ce point doit appartenir au plan
tangent, c'est-à-dire que :
2y 0 − 3x 0 + x 0 y 0 = 0
On a aussi z
3
0 = x 0 y 0 puisque M 0 ∈
.
On a x 0 = / 0, sinon on aurait aussi y 0 = z 0 = 0. On serait donc au point
singulier qui a été exclu. On a donc :
y 0 = z 0 ; x 0 = z
2
0 ; z
2
0 − 3z 0 + 2 = 0 ,
soit z 0 = 1 ou z 0 = 2.
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Chapitre 12 • Courbes et surfaces