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Chapitre 12 • Courbes et surfaces
Si D t recoupe C en N (u), le paramètre u vérifie l'équation :
3tu
2
− 2u
3
− t
3
= 0 .
Le polynôme en u du premier membre est de degré 3 et il admet t comme
racine double puisque la droite est tangente en M(t). On peut donc le factoriser et l'équation précédente s'écrit :
(u − t)
2
(2u + t) = 0 .
La droite D t recoupe donc C en N
−
t
2
. Elle est normale à C en ce point
si, et seulement si, les vecteurs
1
t
et
1
−
t
2
sont orthogonaux, donc si
t 2 = 2.
Les droites qui sont à la fois normales et tangentes à C admettent donc pour
équations :
y =
√
2 (x − 2) ; y = −
√
2 (x − 2) .
Exercice 12.2 : Plans tangents à une surface
Soit
la surface définie par l'équation cartésienne : z 3 = x y.
Déterminer les plans tangents à
qui contiennent la droite :
D
x = 2
y = 3z − 3
Pour déterminer le plan tangent en M 0 à une surface, on détermine un vecteur normal − → n .
Si la surface est donnée sous forme cartésienne f (x,y,z) = 0, on a
− → n =
− − →
grad f (M 0 ) .
Si la surface est donnée sous forme paramétrique
− − →
O M(u,v) , on a
− → n =
∂
− − →
O M
∂u
∧
∂
− − →
O M
∂v
.
Dans les deux cas, si − → n =
− →
0 , le point M 0 est un point singulier (pas de plan tangent) ; sinon le plan tangent est l'ensemble des points M tels que :
−−→
M M 0 · − → n = 0 .