puis en dérivant par rapport à x :
∂ f k
∂ x
=
x 2 + y 2 + 1
(x 2 − y 2 − 1) 2 + ϕ
k (x) ce qui entraîne ϕ
k (x) = 0 et finalement :
f k (x,y) =
−x
x 2 − y 2 − 1
+ λ k .
Exercice 11.14 : Calcul d'une intégrale curviligne
Soit C le cercle d'équation x 2 + y 2 − 2y = 0 . Calculer de deux façons différentes l'intégrale curviligne :
I =
C +
−x
2 y dx + x y
2 dy .
Commencez par dessiner C et son orientation directe qui donne C + .
Pour les deux méthodes demandées, il n'y a pas à hésiter :
– le calcul direct en paramétrant C + ;
– l'utilisation de la formule de Green-Riemann.
Un dessin facilite la visualisation de l'exercice.
• Calcul direct
Le cercle étant de centre (0,1) et de
rayon 1, on peut paramétrer C + par :
x = cos t ; y = 1 + sin t ; t ∈ [0,2π[ ,
ce qui entraîne :
I =
2π
0
cos
2 t (1 + sin t)sin t + cos
2 t (1 + sin t)
2
dt
=
2π
0
2 cos
2 t sin
2 t + 3 cos
2 t sin t + cos
2 t
dt
=
1
2
2π
0
sin
2
(2t)dt + 3
2π
0
cos
2 t sin t dt
+
1
2
2π
0
1 + cos(2t)
dt
=
1
4
t +
1
4
sin(4t)
2π
0
−
cos 3 t
2π
0
+
1
2
t +
1
2
sin(2t)
2π
0
=
3π
2
336
Chapitre 11 • Fonctions de plusieurs variables
y
x
0
1
1
2