• Calcul avec la formule de Green-Riemann
La forme différentielle s'écrit P dx + Q dy avec P = −x 2 y et Q = x y 2 .
On calcule :
∂ Q
∂ x
−
∂ P
∂ y
= x
2
+ y
2 .
D'après la formule de Green-Riemann, l'intégrale curviligne I est égale à l'intégrale double sur le disque D limité par C :
I =
D
(x
2
+ y
2
) dxdy .
Le dessin suggère d'introduire le changement de variables :
x = ρ cos θ ; y = 1 + ρ sin θ .
Le jacobien est égal à ρ et le domaine d'intégration devient :
=
(ρ,θ) ; ρ ∈ [0,1] , θ ∈ [0,2π[
.
On a donc :
I =
2π
0
1
0
ρ
2
+ 1+2ρ sin θ
ρ dρ dθ =
2π
0
1
4
+
1
2
+
2
3
sin θ
dθ =
3π
2
·
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
337
Chapitre 11 • Fonctions de plusieurs variables
La forme différentielle s'écrit P dx + Q dy avec P = −x 2 y et Q = x y 2 .
On calcule :
∂ Q
∂ x
−
∂ P
∂ y
= x
2
+ y
2 .
D'après la formule de Green-Riemann, l'intégrale curviligne I est égale à l'intégrale double sur le disque D limité par C :
I =
D
(x
2
+ y
2
) dxdy .
Le dessin suggère d'introduire le changement de variables :
x = ρ cos θ ; y = 1 + ρ sin θ .
Le jacobien est égal à ρ et le domaine d'intégration devient :
=
(ρ,θ) ; ρ ∈ [0,1] , θ ∈ [0,2π[
.
On a donc :
I =
2π
0
1
0
ρ
2
+ 1+2ρ sin θ
ρ dρ dθ =
2π
0
1
4
+
1
2
+
2
3
sin θ
dθ =
3π
2
·
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 11 • Fonctions de plusieurs variables