U 1 = {(x,y) ; x 2 − y 2 < 1}
U 2 = {(x,y) ; x 2 − y 2 > 1 et x > 0}
U 3 = {(x,y) ; x 2 − y 2 > 1 et x < 0}
U 1 est étoilé par rapport à O ; U 2 et U 3 sont convexes donc étoilés par
rapport à chacun de leurs points.
D'après le théorème de Poincaré, il s'agit de conditions suffisantes pour que
ω soit exacte sur chaque ouvert.
2. Sur U k (où k ∈ {1,2,3}), déterminons f k telle que ω = d f k .
En choisissant de commencer par la dérivée partielle la plus facile à intégrer,
on a :
∂ f k
∂ y
= −
2x y
(x 2 − y 2 − 1) 2 d'où : f k (x,y) =
−x
x 2 − y 2 − 1
+ ϕ k (x)
En notant u = x 2 − y 2 , la fonction g est donc solution de l'équation différentielle :
(u − 1)g
(u) + 2g(u) = 0 .
C'est une équation différentielle linéaire, homogène, du premier ordre dont
la solution générale est (sur un intervalle où u = / 1) :
g(u) = K exp
−2
u − 1
du
= K exp
− 2ln|u − 1|
=
K
(u − 1) 2 ·
En choisissant g(x 2 − y 2 ) =
1
(x 2 − y 2 − 1) 2 la forme différentielle devient :
ω =
x 2 + y 2 + 1
(x 2 − y 2 − 1) 2 dx −
2x y
(x 2 − y 2 − 1) 2 dy = P dx + Q dy .
Elle est définie et fermée sur chacun des trois ouverts :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 11 • Fonctions de plusieurs variables
U 3
U 1
U 2
y
x
1
1