Sa dérivée h (x) = −
a
x 2 +
1
√
ax
s'annule pour x 0 = a et elle est négative pour
x a et positive pour x a.
La fonction h présente donc un minimum pour x = a dont la valeur est h(a) = 3.
• En conclusion, on a :
∀(x,y) ∈ R
∗
+ × R
∗
+
f (x,y) 3
l'égalité ayant lieu si, et seulement si, x = y = a.
Exercice 11.13 : Détermination d'un facteur intégrant
d'une forme différentielle
1. Déterminer une fonction g ∈ C 1 (R,R), telle que la forme différentielle :
ω = g(x
2
− y
2
)
(x
2
+ y
2
+ 1)dx − 2x ydy
soit une forme exacte sur des ouverts à préciser.
2. Déterminer alors, sur chaque ouvert, f telle que ω = d f.
On sait que, pour qu'une forme différentielle soit exacte, il est nécessaire qu'elle soit
fermée. Nous allons commencer par écrire cette condition qui est plus facile à
exploiter.
La réciproque (théorème de Poincaré) exige une condition sur l'ouvert U sur lequel
on se place.
La condition D étoilé (il existe a ∈ U, pour tout x ∈ U, le segment d'extrémités a
et x soit inclus dans U) convient.
La condition D simplement connexe (toute courbe fermé incluse dans U peut se
ramener à un point par déformation continue) convient aussi.
1. Pour que ω soit exacte sur un ouvert U, il est nécessaire qu'elle soit fermée, c'est-à-dire que, pour tout (x,y) ∈ U, on ait :
∂
∂ y
(x
2
+ y
2
+ 1)g(x
2
− y
2
)
=
∂
∂ x
− 2x yg(x
2
− y
2
)
soit après calculs et simplifications :
4yg(x
2
− y
2
) − 2y(−x
2
+ y
2
+ 1)g
(x
2
− y
2
) = 0 .
Pour y = / 0, on peut simplifier, puis prolonger par continuité l'égalité obtenue au cas y = 0, ce qui donne :
∀(x,y) ∈ U
2g(x
2
− y
2
) + (x
2
− y
2
− 1)g
(x
2
− y
2
) = 0 .
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Chapitre 11 • Fonctions de plusieurs variables