g
n
i=1
λ i x i
n
i=1
λ i g(x i ) .
Appliquons l'inégalité de convexité à la fonction − f avec les réels α > 0,
β > 0, γ > 0 et les coefficients λ 1 = λ 2 = λ 3 =
1
3
:
−ln
α + β + γ
3
1
3
− ln α − ln β − ln γ
.
La fonction exponentielle étant croissante, on en déduit :
α + β + γ
3
(α β γ)
1
3
d'où :
a
x
+
a
y
+
x y
a 2 3
a
x
×
a
y
×
x y
a 2
1
3
= 3 .
Le point (a,a) tel que f (a,a) = 3 est donc un minimum global.
Annexe : méthode élémentaire (niveau première S)
La démonstration se fait en deux étapes, en étudiant une fonction à une variable à
chaque étape.
• Pour x fixé, considérons la fonction g définie par : g(y) =
a
y
+
x y
a 2 ·
Sa dérivée g (y) =
x
a 2 −
a
y 2 s'annule pour y 0 =
a 3
x
et g (y) =
2a
y 3 < 0 .
La fonction g présente donc un minimum pour y = y 0 dont la valeur est
g(y 0 ) = 2
x
a
·
Par suite :
f (x,y)
a
x
+ 2
x
a
l'égalité ayant lieu pour y =
a 3
x
.
• Considérons la fonction h définie par : h(x) =
a
x
+ 2
x
a
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Chapitre 11 • Fonctions de plusieurs variables