• Détermination des points critiques
La fonction f est de classe C ∞ sur son ensemble de définition.
Les éventuels extremums de f vérifient les conditions nécessaires :

 
 
∂ f
∂ x
= −
a
x 2 +
y
a 2 = 0
∂ f
∂ y
= −
a
y 2 +
x
a 2 = 0
⇐⇒
x 2 y = a 3
x y 2 = a 3 ⇐⇒ x = y = a
Le point (a,a) est donc le seul point critique.
• Étude du point critique
On calcule les dérivées secondes au point étudié :
R =
∂ 2 f
∂ x 2 (a,a) =
2
a 2 ; S =
∂ 2 f
∂ x∂ y
(a,a) =
1
a 2 ; T =
∂ 2 f
∂ y 2 (a,a) =
2
a 2
Comme S 2 − RT =
−3
a 2 < 0 et R > 0, le point (a,a) est un minimum
(local) de valeur f (a,a) = 3.
Vous observez que les termes de degré 1 en h et k ont disparu, ce qui est toujours
le cas au voisinage d'un point critique.
Au voisinage de (a,a), la différence D(h,k) est du signe de :
h
2
+ k
2
+ hk =
h +
1
2
k
2 +
3
4
k
2
> 0 si (h,k) = / (0,0).
Le point critique (a,a) est donc un minimum, local puisque des termes ont
été négligés lors du calcul des développements limités.
2. La grande difficulté de cette question est de penser à une notion relative aux fonctions à une variable vue en première année. C'est une notion qui permet d'obtenir
des inégalités globales.
Vous êtes peut-être une personne qu'on vexe facilement ?
Sur R ∗
+ , la fonction ln est de classe C 2 et l'on a (ln x) = −
1
x 2 < 0.
C'est donc une fonction concave, et − f est convexe.
Rappelons l'inégalité de convexité :
g étant convexe sur I, si x 1 ,. . . ,x n appartiennent à I, si λ 1 ,. . . ,λ n sont des réels
positifs tels que
n
i=1
λ i = 1, alors :
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Chapitre 11 • Fonctions de plusieurs variables