Rappelons l'inégalité de convexité :
g étant convexe sur I, si x 1 ,. . . ,x n appartiennent à I, si λ 1 ,. . . ,λ n sont des réels
positifs tels que
n
i=1
λ i = 1, alors :
g
n
i=1
λ i x i
n
i=1
λ i g(x i ) .
Appliquons l'inégalité de convexité à la fonction − f avec les réels a, b, c,
∈
0 ;
π
2
et les coefficients λ 1 = λ 2 = λ 3 =
1
3
:
−ln
sin
a + b + c
3
1
3
− ln(sin a) − ln(sin b) − ln(sin c)
.
Comme a + b + c =
π
2
et ln(sin
π
6
) = −ln 2, on a aussi :
−3 ln 2 ln(sin a) + ln(sin b) + ln(sin c) .
La fonction exponentielle étant croissante, on en déduit :
1
8
sin a sin b sin c .
Exercice 11.12 : D'un extremum local à un extremum global
Soit a > 0 et f définie sur R ∗
+ × R ∗
+ par :
f (x,y) =
a
x
+
a
y
+
x y
a 2 ·
1. Montrer que f admet un minimum local que l'on déterminera.
2. Montrer que :
∀(α,β,γ) ∈ (R
∗
+ )
3
α + β + γ
3
(α β γ)
1
3 .
En déduire que le minimum obtenu dans la question précédente est global.
C'est un sujet d'oral. Nous allons rédiger la méthode vraisemblablement attendue
par l'examinateur.
Mais il existe aussi une méthode élémentaire (niveau première S) qui sera présentée en annexe à la fin.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 11 • Fonctions de plusieurs variables