– Et enfin, en utilisant le développement du carré d'une somme :
i /
= j
h i h j =
n
i=1
h i
2
−
n
i=1
h
2
i = −
n
i=1
h
2
i
En conclusion :
f (x 1 ,. . . ,x n ) = f (A) −
n
i=1
h
2
i .
La fonction f admet donc au point A un maximum global.
• Qu'en est-il du minimum?
f (X) =
i /
= j
x i x j =
n
i=1
x i
2
−
n
i=1
x
2
i = 1 −
n
i=1
x
2
i
Sur E on a f (X) 0 , et on aura f (X) = 0 si, et seulement si,
n
i=1
x
2
i = 1 =
n
i=1
x i , soit
n
i=1
x i (1 − x i ) = 0.
Chaque terme de cette somme est 0. Il faut donc que x i (1 − x i ) = 0 pour
tout i.
La fonction f admet donc un minimum global en chacun des n points dont
une coordonnée est égale à 1 et les autres à 0.
Exercice 11.11 : Majoration
Soit a, b, c des réels positifs tels que a + b + c =
π
2
· Montrer que l'on a :
sin a sin b sin c
1
8
·
Il s'agit d'un oral placé ici pour tester votre réaction. Il faut penser à une notion relative aux fonctions à une variable vue en première année. C'est une notion qui permet d'obtenir des inégalités globales.
Sur
0 ;
π
2
, la fonction définie par ln(sin x) est de classe C 2 et l'on a :
ln(sin x)
= −
1
sin
2 x
< 0 .
C'est donc une fonction concave, et − f est convexe.
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Chapitre 11 • Fonctions de plusieurs variables