Exercice 11.10 : Extremums sur un compact d'une fonction
de n variables
Déterminer le maximum sur
E =
x ∈ R
n ; x 1 + · · · + x n = 1, x 1 0,. . . ,x n 0
de la fonction définie sur R n par :
f (x 1 ,. . . ,x n ) =
i /
= j
x i x j .
La partie E de R n est fermée et bornée ; c'est donc un compact. La fonction f est
continue comme composée de fonctions continues. Elle admet donc sur E un maximum atteint au moins une fois.
Le problème, c'est qu'on ne peut pas calculer de dérivées partielles puisqu'un tel calcul a lieu sur des ouverts et que l'intérieur de E est vide.
Il faut donc trouver d'autres idées.
• Tout le problème est invariant par permutation circulaire sur les
variables x i . On peut donc penser qu'une valeur extrémale se trouve au point
A
1
n
, · · · ,
1
n
.
Pour une étude locale au voisinage de A, posons x i =
1
n
+ h i et calculons :
f (x 1 ,. . . ,x n ) =
i /
= j
1
n
+h i
1
n
+h j
=
i /
= j
1
n 2 +
1
n
(h i + h j ) + h i h j
Détaillons le calcul de chaque terme de cette somme.
– On a :
i /
= j
1
n 2 =
n(n − 1)
n 2
puisqu'il y a n(n − 1) couples (i, j) tels que
i = / j.
– En rajoutant et en enlevant les termes qui corrrespondent à i = j, on
obtient :
i /
= j
(h i + h j ) =
i, j
(h i + h j ) − 2
n
i=1
h i
= n
n
i=1
h i + n
n
j=1
h j − 2
n
i=1
h i
= 2 (n − 1)
n
i=1
h i
Comme la recherche des extremums a lieu sur E, on a A ∈ E et A + H ∈ E,
d'où
n
i=1
h i = 0.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 11 • Fonctions de plusieurs variables