Exercice 11.9 : Extremums sur un compact
Soit D =
(x,y) ∈ R 2 ; x 2 + y 2 9
.
Déterminer les extremums sur D de la fonction définie par :
f (x,y) =
x 2 + y 2 + y
2
− 1 .
La fonction f est continue comme composée de fonctions continues.
La partie D est fermée et bornée en dimension finie : c'est un compact.
Dans ce cas, vous devez savoir que la fonction numérique f admet sur D un maximum (et un minimum) global atteint au moins une fois.
D'autre part, le calcul des dérivées partielles dont vous avez l'habitude se fait sur un
ouvert.
• Conditions nécessaires
La fonction f est de classe C 1 sur R 2 \ {(0,0)}.
Les éventuels extremums de f sur l'ouvert :
=
(x,y) ∈ R
2 ; 0 < x
2
+ y
2
< 9
vérifient les conditions nécessaires :

  
  
∂ f
∂ x
=
x
x 2 + y 2
= 0
∂ f
∂ y
=
y
x 2 + y 2
+ 2y = 0
Ce système n'admet pas de solution dans . Les extremums de f sur D sont
à chercher sur la frontière de , c'est-à-dire au point(0,0) et sur le cercle
d'équation x 2 + y 2 = 9.
• Étude en (0,0)
On a f (0,0) = −1 et on a toujours f (x,y) −1, l'égalité n'ayant lieu
qu'en (0,0).
La fonction f admet donc un minimum global en (0,0).
• Étude sur le cercle
Le cercle de centre O et de rayon 3 peut se paramétrer :
x = 3 cos t ; y = 3 sin t ; t ∈ [0,2π[ .
La restriction de f au cercle s'écrit donc g(t) = 2 + 9 sin
2 t et ses valeurs
décrivent le segment [2,11].
• Bilan
Sur D, la fonction f admet un minimum global de valeur −1 atteint en
(0,0) ; un maximum global de valeur 11 atteint en (0,3) et (0,−3).
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Chapitre 11 • Fonctions de plusieurs variables