• Détermination des points critiques
La fonction f est de classe C ∞ sur R 2 .
Les éventuels extremums de f vérifient les conditions nécessaires :
(S)

 
 
∂ f
∂ x
= e y + y e x = 0
∂ f
∂ y
= x e y + e x = 0
La première équation donne : e y−x = −y et la seconde : e y−x = −
1
x
·
On a donc x y = 1 .
– On peut remplacer y par
1
x
dans la deuxième équation, c'est-à-dire chercher x tel que g(x) = 0 avec le tableau de variation de la fonction g définie par g(x) = x e
1
x + e x .
– Mais il est plus rapide d'écrire les équations de (S) sous la forme :
e
y−x
+ y = 0 ; e
x−y
+ x = 0 ,
d'où par soutraction :
2 sh(y − x) + (y − x) = 0 .
Le tableau de variation (très élémentaire !) de la fonction ϕ définie par
ϕ(t) = 2 sh t + t entraîne :
ϕ(t) = 0 ⇐⇒ t = 0 .
Le seul point critique est donc (x,y) = (−1,−1).
• Étude du point critique
On calcule les dérivées secondes au point étudié :
R =
∂ 2 f
∂ x 2 (−1,−1) = −
1
e
; S =
∂ 2 f
∂ x∂ y
(−1,−1) =
2
e
;
T =
∂ 2 f
∂ y 2 (−1,−1) = −
1
e
Comme S 2 − RT =
3
e 2 > 0, le point (−1,1) est un point-col (ou pointselle).
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Chapitre 11 • Fonctions de plusieurs variables