On a donc ;
f (( 1 ) =
(x
,y
) ; x
> 0 et x
> y
.
3. Puisque X 0 ∈ 1 ∩ (R + ) 2 , on a 0 y 0 < x 0 .
Et l'hypothèse X n+1 = f (X n ) entraîne que x n+1 y n+1 = x n y n pour tout n.
On en déduit que x n y n = x 0 y 0 , puis :
x n+1 =
1
2
(x n + y n ) =
1
2
x n +
x 0 y 0
x n
.
• Premier cas : y 0 = 0
On a alors pour tout n : x n =
x 0
2 n et y n = 0. Par conséquent :
lim
n→∞
X n = (0,0).
• Deuxième cas : y 0 > 0
Posons a =
√ x 0 y 0 . On peut alors écrire :
x n+1 − a =
1
2
x n +
a 2
x n
− a =
1
2x n
(x n − a)
2
On a donc x n a pour n 1 et par suite :
0 x n+1 − a
x n − a
2
ce qui entraîne : 0 x n − a
x 1 − a
2 n−1 ·
La suite (x n ) converge vers a et y n =
a 2
x n
aussi. Par conséquent :
lim
n→∞
X n = (a,a).
Comme x n+1 − a ∼
n→∞
1
2a
(x n − a)
2 , la convergence qui précède est quadratique.
Exercice 11.8 : Recherche d'extremums
Trouver les extremums de la fonction définie sur R 2 par :
f (x,y) = x e
y
+ y e
x .
La seule difficulté de ce sujet consiste à résoudre le système qui donne les points
critiques. Il faudra peut-être étudier les variations d'une fonction auxiliaire.
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Chapitre 11 • Fonctions de plusieurs variables