Considérons la restriction de f à i .
Pour démontrer qu'elle est injective, démontrons que tout élément (x ,y ) donné a
au plus un antécédent, c'est-à-dire que l'équation f (x,y) = (x ,y ) a au plus une
solution.
Considérons l'équation f (x,y) = (x ,y ) . On a :

 
 
x + y
2
= x
2x y
x + y
= y
⇐⇒
x + y = 2x
x y = x y
⇐⇒ x et y racines de t 2 − 2x t + x y = 0
.
Le signe de x − y étant imposé par i , l'équation f (x,y) = (x ,y ) a au
plus une solution.
La restriction de f à i est donc injective, et son jacobien ne s'annule pas.
C'est donc un C ∞ -difféomorphisme de i sur f (( i ).
2. Soit (x,y) ∈ 1 . Son image f (x,y) = (x ,y ) vérifie :
x + y = 2x
x y = x y avec x + y > 0 et x − y > 0
ce qui entraîne :
x > 0 et x > y
car : x 2 − x y =
1
4
(x + y) 2 − x y =
1
4
(x − y) 2 > 0 .
Réciproquement, si x > 0 et x > y , l'équation t 2 − 2x t + x y = 0 a
deux racines réelles distinctes x et y qui vérifient x > y et x + y > 0.
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Chapitre 11 • Fonctions de plusieurs variables
y = – x
y = x