Comme la fonction f est de classe C 1 , la dérivée de f au point C dans la
direction du vecteur unitaire − → n est égale à :
− − →
grad f (C) · − → n = a + b .
Cette dérivée est maximale dans la direction du gradient, soit a = b avec
a > 0 et
√
a 2 + b 2 = 1, ou encore :
− → n =
√
2
2
,
√
2
2
.
Exercice 11.7 : Étude d'une suite
Soit f la fonction de R 2 dans R 2 définie par :
f (x,y) =
x + y
2
,
2x y
x + y
.
1. Déterminer les ouverts convexes les plus grands posssibles sur lesquels f est
un difféomorphisme de classe C ∞ .
2. Déterminer f (( 1 ) où 1 = {(x,y ∈ R 2 ; x + y > 0 et x − y > 0} .
3. Étudier la suite (X n ) définie par X n+1 = f (X n ) avec X 0 ∈ 1 ∩ (R + ) 2 .
1. L'image f (x,y) est définie pour x + y = / 0 .
Calculons la matrice jacobienne de f = ( f 1 , f 2 ) :
J =




∂ f 1
∂ x
∂ f 1
∂ y
∂ f 2
∂ x
∂ f 2
∂ y



 =




1
2
1
2
2y 2
(x + y) 2
2x 2
(x + y) 2




et le jacobien : det J =
x 2 − y 2
(x + y) 2 =
x − y
x + y
Pour que f soit un C ∞ -difféomorphisme, le jacobien ne doit pas s'annuler.
Il y a quatre ouverts convexes, les plus grands possibles, qui vérifient :
x + y = / 0
x − y = / 0
1 = {(x,y) ; x + y > 0 et x − y > 0}
2 = {(x,y) ; x + y > 0 et x − y < 0}
3 = − 1
4 = − 2
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Chapitre 11 • Fonctions de plusieurs variables