Cette résolution du problème des cordes vibrantes (1747) par d'Alembert en fait le
fondateur des équations aux dérivées partielles.
En 1753, Daniel Bernoulli considère que les fonctions périodiques les plus
simples sont les fonctions trigonométriques sin
nπ
l
t
et cos
nπ
l
t
. Il représente
alors f sous la forme d'une série trigonométrique.
La suite des travaux (notamment par Poisson, Fourier) amènera aux séries de
Fourier.
Exercice 11.6 : Dérivée directionnelle
1. Donner l'ensemble de définition de la fonction f de R 2 dans R définie par :
f (x,y) = ln
x +
x 2 + y 2
.
2. La fonction f est-elle continue ? de classe C 1 ?
3. En C = (0,1), déterminer la dérivée de f dans la direction d'un vecteur unitaire
− → n = (a,b). Comment choisir − → n pour que cette dérivée soit maximale ?
1. Pour que f existe il faut, et il suffit, que x +
x 2 + y 2 > 0. Il faut
exclure les points (x,y) tels que :
x 2 + y 2 −x ⇐⇒ x 0 et x
2
+ y
2 x
2
⇐⇒ x 0 et y = 0 .
L'ensemble de définition de f est le plan privé de la demi-droite :
{(x,0) ; x 0}.
2. Sur son ensemble D de définition, la fonction f est continue et de classe C 1 comme composée de fonctions continues et de classe C 1 .
En (x,y) ∈ D, les dérivées partielles premières sont :
∂ f
∂ x
=
1 +
x
x 2 + y 2
x +
x 2 + y 2
=
1
x 2 + y 2
∂ f
∂ y
=
y
x 2 + y 2
x +
x 2 + y 2
=
y
x
x 2 + y 2 + x 2 + y 2
3. En C = (0,1), le gradient de f est égal à :
− − →
grad f (C) =
∂ f
∂ x
(0,1) ,
∂ f
∂ y
(0,1)
= (1,1) .
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Chapitre 11 • Fonctions de plusieurs variables