∂ϕ
∂ x
=
∂ F
∂u
∂u
∂ x
+
∂ F
∂v
∂v
∂ x
=
∂ F
∂u
+
∂ F
∂v
∂ 2 ϕ
∂ x 2 =
∂ 2 F
∂u 2 + 2
∂ 2 F
∂u∂v
+
∂ 2 F
∂v 2
∂ϕ
∂t
=
∂ F
∂u
∂u
∂t
+
∂ F
∂v
∂v
∂t
= α
∂ F
∂u
+ β
∂ F
∂v
∂ 2 ϕ
∂t 2 = α
α
∂ 2 F
∂u 2 + β
∂ 2 F
∂u∂v
+ β
α
∂ 2 F
∂u∂v
+ β
∂ 2 F
∂v 2
= α 2 ∂ 2 F
∂u 2 + 2αβ
∂ 2 F
∂u∂v
+ β
2 ∂ 2 F
∂v 2
En substituant dans l'équation (1), on obtient alors :
1 −
α 2
C 2
∂ 2 F
∂u 2 + 2
1 −
αβ
C 2
∂ 2 F
∂u∂v
+
1 −
β
2
C 2
∂ 2 F
∂v 2 = 0
ce qui donne la forme réduite annoncée en choisissant α et β tels que :
α
2
= C
2 ; β
2
= C
2 ; α = / β
soit, par exemple : α = C ; β = −α = −C.
2. La forme de la solution générale de l'équation
∂ 2 F
∂u∂v
= 0 est
F(u,v) = G(u) + H (v) , ce qui donne :
ϕ(x,t) = f (x + Ct) + g(x − Ct)
où f et g sont des fonctions de classe C 2 quelconques.
3. Comme les extrémités de la corde sont fixes, on a :
∀t 0
ϕ(0,t) = f (Ct) + g(−Ct) = 0
ϕ(l,t) = f (l + Ct) + g(l − Ct) = 0
La première condition montre que g(−u) = − f (u), ce qui conduit à :
ϕ(x,t) = f (x + Ct) − f (Ct − x) .
La seconde condition s'écrit alors :
∀t 0
f (Ct + l) − f (Ct − l) = 0 ,
ce qui montre que f est périodique de période 2l. La solution du problème
des cordes vibrantes est donc :
ϕ(x,t) = f (Ct + x) − f (Ct − x)
où f est une fonction de classe C 2 de période 2l.
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Chapitre 11 • Fonctions de plusieurs variables