On intègre d'abord par rapport à v :
2u
∂g
∂u
− g(u,v) = ϕ 1 (u) .
C'est une équation différentielle linéaire d'ordre 1 pour la variable u.
L'équation homogène a pour solution particulière : exp
du
2u
=
√
u .
On en déduit la solution générale :
g(u,v) =
ϕ 1 (u)
2u
3
2
du + ψ(v)
√
u = ϕ(u) +
√
u ψ(v)
où ϕ et ψ sont des fonctions de classe C 2 sur R ∗
+ .
En revenant en x et y, on conclut :
f (x,y) = ϕ(x y) +
√ x y ψ
x
y
.
Exercice 11.5 : Équation des cordes vibrantes
Considérons une corde de longueur l fixée aux extrémités d'abscisses 0 et l. Lors
de vibrations dans des conditions idéales, désignons par ϕ(x,t) le déplacement à
l'instant t du point d'abscisse x.
Cette fonction, supposée de classe C 2 , vérifie l'équation des cordes vibrantes :
∂ 2 ϕ
∂ x 2 −
1
C 2
∂ 2 ϕ
∂t 2 = 0
(1)
où C est une constante > 0.
1. Déterminer α et β pour que le changement de variable
u = x + αt ; v = x + βt
ramène l'équation (1) à la forme
∂ 2 F
∂u∂v
= 0 avec F(u,v) = ϕ(x,t) .
2. En déduire la forme des solutions de (1).
3. Préciser ces solutions en sachant que les extrémités de la corde sont fixes.
Il est préférable de calculer les dérivées partielles qui figurent dans l'équation donnée pour pouvoir les reporter.
1. Le changement de variable proposé est bijectif si, et seulement si,
α = / β.
En posant F(u,v) = ϕ(x,t) , on a, par dérivation d'une fonction composée
de classe C 2 :
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Chapitre 11 • Fonctions de plusieurs variables