Exercice 11.4 : Une équation aux dérivées partielles
En utilisant le changement de variables :
u = x y v =
x
y
déterminer toutes les fonctions f, C 2 sur
R ∗
+
2 , qui vérifient :
x
2 ∂ 2 f
∂ x 2 − y
2 ∂ 2 f
∂ y 2 = 0
(1).
Ce type d'exercice a pour but de vous faire calculer les dérivées partielles d'une
fonction composée.
La matrice jacobienne du changement de variables fournie par l'énoncé est :
J =




∂u
∂ x
∂u
∂ y
∂v
∂ x
∂v
∂ y



 =


y
x
1
y
−
x
y 2


Le jacobien det J = −
2x
y
ne s'annule pas sur
R ∗
+
2 . Le changement de
variables est donc un C 1 -difféomorphisme.
La fonction g définie par g(u,v) = f (x,y) est de classe C 2 sur
R ∗
+
2 .
Calculons les dérivées partielles premières :
∂ f
∂ x
=
∂g
∂u
∂u
∂ x
+
∂g
∂v
∂v
∂ x
= y
∂g
∂u
+
1
y
∂g
∂v
∂ f
∂ y
=
∂g
∂u
∂u
∂ y
+
∂g
∂v
∂v
∂ y
= x
∂g
∂u
−
x
y 2
∂g
∂v
puis secondes :
∂ 2 f
∂ x 2 = y
y
∂ 2 g
∂u 2 +
1
y
∂ 2 g
∂u∂v
+
1
y
y
∂ 2 g
∂u∂v
+
1
y
∂ 2 g
∂v 2
∂ 2 f
∂ y 2 = x
x
∂ 2 g
∂u 2 −
x
y 2
∂ 2 g
∂u∂v
−
x
y 2
x
∂ 2 g
∂u∂v
−
x
y 2
∂ 2 g
∂v 2
+
2x
y 3
∂g
∂v
En reportant dans l'équation (1), et en simplifiant, on obtient :
4x
2 ∂ 2 g
∂u∂v
−
2x
y
∂g
∂v
= 0 ⇐⇒ 2u
∂ 2 g
∂u∂v
−
∂g
∂v
= 0 .
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Chapitre 11 • Fonctions de plusieurs variables