Exercice 11.3 : Différentiabilité d'une fonction
Soit f la fonction définie sur R 2 par :



f (x,y) =
x y
x 2 + y 2
si (x,y) = / (0,0)
f (0,0) = 0
Étudier la différentiabilité de f.
Si les dérivées partielles sont continues, la fonction est nécessairement différentiable.
Si une dérivée partielle n'existe pas, la fonction ne peut pas être différentiable.
Si les dérivées partielles existent et si l'une d'entre elles n'est pas continue, il faut
recourir à la définition de la différentiabilité.
• En (x,y) = / (0,0), on a :
∂ f
∂ x
(x,y) =
y 3
(x 2 + y 2 )
3
2
;
∂ f
∂ y
(x,y) =
x 3
(x 2 + y 2 )
3
2
·
Ces dérivées partielles sont continues comme composées de fonctions continues.
Sur R 2 \ {(0,0)}, la fonction f est de classe C 1 . Elle est donc différentiable.
• En (0,0), on a :
∂ f
∂ x
(0,0) = lim
x→0
f (x,0)− f (0,0)
x
= 0 ;
∂ f
∂y
(0,0) = lim
y→0
f (0,y) − f (0,0)
y
= 0 .
D'autre part, lim
x→0 +
∂ f
∂ x
(x,x) = 2
− 3
2 = / 0 montre que
∂ f
∂ x
n'est pas continue
en (0,0). Il en est de même pour
∂ f
∂ y
·
f n'est donc pas de classe C 1 en (0,0).
• Étudions la différentiabilité de f en (0,0). L'égalité de définition conduit
à poser :
ε(x,y) =
1
x 2 + y 2
f (0 + x,0 + y) − f (0,0)
=
x y
x 2 + y 2 ·
Cette fonction ne tend pas vers 0 quand (x,y) tend vers (0,0) puisque
lim
x→0
ε(x,x) =
1
2
·
f n'est donc pas différentiable en (0,0).
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Chapitre 11 • Fonctions de plusieurs variables