318
Chapitre 11 • Fonctions de plusieurs variables
Exercice 11.2 : À propos du théorème de Schwarz
Soit f la fonction définie sur R 2 par :



f (x,y) = x y
x 2 − y 2
x 2 + y 2
si (x,y) = / (0,0)
f (0,0) = 0
Montrez que f admet des dérivées partielles secondes en tout point. Que pouvezvous déduire du calcul de
∂ 2 f
∂ x∂ y
(0,0) et de
∂ 2 f
∂ y∂ x
(0,0) ?
Il faudra distinguer l'origine et les autres points du plan.
• Si l'on considère un point M 0 distinct de l'origine, il existe une boule de
centre M 0 dans laquelle f est donnée seulement par la première expression.
Comme il s'agit d'une composée de fonctions de classe C 2 , f est de classe C 2
en M 0 .
• Dans tout voisinage de (0,0), les deux expressions de f interviennent et
on doit revenir aux définitions :
∂ f
∂ x
(0,0) = lim
x→0
f (x,0) − f (0,0)
x
= 0 ;
∂ f
∂y
(0,0) = lim
y→0
f (0,y) − f (0,0)
y
= 0
On va avoir aussi besoin du calcul pour (x,y) = / (0,0) de :
∂ f
∂ x
(x,y) = y
x 4 + 4x 2 y 2 − y 4
(x 2 + y 2 ) 2
;
∂ f
∂ y
(x,y) = x
x 4 − 4x 2 y 2 − y 4
(x 2 + y 2 ) 2
On en déduit :
∂ 2 f
∂ x∂ y
(0,0) = lim
x→0
∂ f
∂ y
(x,0) −
∂ f
∂ y
(0,0)
x
= lim
x→0
x − 0
x
= 1
∂ 2 f
∂ y∂ x
(0,0) = lim
y→0
∂ f
∂ x
(0,y) −
∂ f
∂ x
(0,0)
y
= lim
y→0
−y − 0
y
= −1
Comme
∂ 2 f
∂ x∂ y
(0,0) = /
∂ 2 f
∂ y∂ x
(0,0), le théorème de Schwarz permet de
conclure que les dérivées secondes
∂ 2 f
∂ x∂ y
et
∂ 2 f
∂ y∂ x
ne sont pas continues
en (0,0).
Le théorème de Schwarz a été publié en 1873. L'exemple de l'exercice est dû à
Peano (1858-1932).