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Exercice 11.1 : Continuité d'une fonction
Soit f la fonction définie sur R 2 par :



f (x,y) =
x 2 y
x 4 − 2x 2 y + 3y 2
si (x,y) = / (0,0)
f (0,0) = 0
1. Montrer que la restriction de f à toute droite passant par l'origine est continue.
2. Montrez que la fonction f n'est pas continue à l'origine.
Pour prouver qu'une fonction de plusieurs variables n'admet pas de limite en M 0 , il
suffit d'expliciter une restriction à une courbe continue passant par M 0 qui n'admette
pas de limite, ou deux restrictions qui conduisent à des limites différentes.
Mais pour prouver l'existence d'une limite, il faut considérer le cas général. Une
infinité d'exemples ne démontre rien.
Remarquons tout d'abord que la fonction est bien définie dans R 2 puisque :
x
4
− 2x
2 y + 3y
2
= (x
2
− y)
2
+ 2y
2
ne s'annule qu'en (0,0).
1. La restriction de f aux droites x = 0 et y = 0 est la fonction nulle.
La restriction de f à la droite y = mx, avec m = / 0, donne :
f (x,mx) =
mx
x 2 − 2mx + 3m 2
et tend vers 0 quand x tend vers 0.
Comme f (0,0) = 0, la restriction de f à toute droite passant par l'origine
est donc continue.
2. Considérons la restriction de f à la parabole y = x 2 . On a :
f (x,x
2
) =
x 4
2x 4 =
1
2
·
Par conséquent, f (x,x 2 ) ne tend pas vers 0 quand x tend vers 0.
La fonction f n'est donc pas continue à l'origine.
Fonctions
de plusieurs variables
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