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Chapitre 10 • Équations différentielles
Supposons que toute solution de (E), et donc en particulier u 1 et u 2 , est
bornée. Alors, d'après la première question, u
1 et u
2 tendent vers 0
en +∞.
u
1 u 2 et u 1 u
2 tendent aussi vers 0 en +∞ comme produits d'une fonction
bornée par une fonction de limite nulle. Ainsi, w tend également vers 0 en
+∞.
w étant constant, ceci entraîne w = 0.
C'est absurde, car le wronskien d'une base de l'espace des solutions ne s'annule pas.
Ainsi, (E) possède au moins une solution non bornée.
Exercice 10.9 : Équation différentielle autonome
Résoudre l'équation différentielle
˙
x = sin(x) .
On pourra commencer par chercher les solutions constantes.
˙
x est la notation courante pour désigner la dérivation par rapport au temps t.
On cherche des fonctions x(t), dérivables sur un certain intervalle I à déterminer,
et vérifiant, pour tout t ∈ I,
dx
dt
(t) = sin[x(t)] .
• Si x est une solution constante sur R, on a ˙
x = 0, soit sin[x(t)] = 0 sur
R, c'est-à-dire :
∀t ∈ R
x(t) = kπ avec k ∈ Z .
• Soit x une solution non constante. Alors, sin[x(t)] ne s'annule pas sur un
intervalle I. Dans ce cas, on peut diviser :
∀t ∈ I
˙
x(t)
sin
x(t)
= 1 .
Une primitive de t →
1
sin(t)
est t → ln
tan(
t
2
)
.
Si vous l'avez oublié, utilisez les règles de Bioche pour calculer
1
sint
dt avec le
changement de variable u = cos t ou u = tan(
t
2
).
Il existe donc une constante réelle a telle que :
∀t ∈ I
ln
tan(
x(t)
2
)
= t + a .