Soit l = lim
x→+∞
u
(x) et supposons l > 0. Alors il existe un réel b ∈ [a,+∞[
tel que, pour tout réel t b :
u
(t)
l
2
·
Alors, pour x b :
u(x) = u(b) +
x
b
u
(t)dt u(b) + (x − b)
l
2
qui tend vers +∞ quand x tend vers +∞, ce qui contredit le fait que u est
bornée.
Un raisonnement analogue montre qu'on ne peut avoir l < 0. Ainsi, l = 0.
2. Le wronskien d'une famille de solutions (u 1 ,u 2 ) de (E), défini par
w = u
1 u 2 − u 1 u
2 , possède deux qualités :
• il vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre et, en particulier,
soit il est identiquement nul, soit il ne s'annule jamais (ce deuxième cas étant équivalent à ce que (u 1 ,u 2 ) soit une base de l'espace des solutions de (E)) ;
• son expression fait intervenir les fonctions u 1 et u 2 ainsi que leurs dérivées. Dans
le cadre du problème qui nous intéresse, nous avons une hypothèse sur les fonctions
(bornées) et nous avons un résultat sur leurs dérivées (limite nulle en +∞).
Nous allons donc pouvoir en déduire des propriétés de w.
Pour ces raisons, il est souvent intéressant d'étudier le wronskien pour déterminer
des propriétés de signe, bornage ou limite des solutions d'une équation différentielle
linéaire homogène du second ordre.
Soit (u 1 ,u 2 ) une base de l'espace des solutions de (E) et w son wronskien.
Alors :
w
= (u
1 u 2 + u
1 u
2 ) − (u
1 u
2 + u 1 u
2 ) = u
1 u 2 − u 1 u
2 = 0
car u
1 = − f u 1 et u
2 = − f u 2 .
Ainsi, w est constant.
Le wronskien est toujours constant quand l'équation différentielle linéaire du
second ordre étudiée n'a pas de terme en y . Le calcul ci-dessus appliqué à une
équation générale de la forme y + p(x)y + q(x)y = 0 montre qu'alors
w = −p(x)w.
Maintenant que nous savons que le wronskien est constant, la première question
nous permet d'étudier son comportement en +∞.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
313
Chapitre 10 • Équations différentielles
x→+∞
u
(x) et supposons l > 0. Alors il existe un réel b ∈ [a,+∞[
tel que, pour tout réel t b :
u
(t)
l
2
·
Alors, pour x b :
u(x) = u(b) +
x
b
u
(t)dt u(b) + (x − b)
l
2
qui tend vers +∞ quand x tend vers +∞, ce qui contredit le fait que u est
bornée.
Un raisonnement analogue montre qu'on ne peut avoir l < 0. Ainsi, l = 0.
2. Le wronskien d'une famille de solutions (u 1 ,u 2 ) de (E), défini par
w = u
1 u 2 − u 1 u
2 , possède deux qualités :
• il vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre et, en particulier,
soit il est identiquement nul, soit il ne s'annule jamais (ce deuxième cas étant équivalent à ce que (u 1 ,u 2 ) soit une base de l'espace des solutions de (E)) ;
• son expression fait intervenir les fonctions u 1 et u 2 ainsi que leurs dérivées. Dans
le cadre du problème qui nous intéresse, nous avons une hypothèse sur les fonctions
(bornées) et nous avons un résultat sur leurs dérivées (limite nulle en +∞).
Nous allons donc pouvoir en déduire des propriétés de w.
Pour ces raisons, il est souvent intéressant d'étudier le wronskien pour déterminer
des propriétés de signe, bornage ou limite des solutions d'une équation différentielle
linéaire homogène du second ordre.
Soit (u 1 ,u 2 ) une base de l'espace des solutions de (E) et w son wronskien.
Alors :
w
= (u
1 u 2 + u
1 u
2 ) − (u
1 u
2 + u 1 u
2 ) = u
1 u 2 − u 1 u
2 = 0
car u
1 = − f u 1 et u
2 = − f u 2 .
Ainsi, w est constant.
Le wronskien est toujours constant quand l'équation différentielle linéaire du
second ordre étudiée n'a pas de terme en y . Le calcul ci-dessus appliqué à une
équation générale de la forme y + p(x)y + q(x)y = 0 montre qu'alors
w = −p(x)w.
Maintenant que nous savons que le wronskien est constant, la première question
nous permet d'étudier son comportement en +∞.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
313
Chapitre 10 • Équations différentielles