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Chapitre 10 • Équations différentielles
Exercice 10.8 : Utilisation du Wronskien
Soit un réel a et une application f continue et intégrable sur [a,+∞[. On considère l'équation différentielle :
(E)
y
+ f (x)y = 0
1. Soit u une solution bornée de (E). Montrer que u tend vers 0 en +∞.
2. Montrer que (E) possède une solution non bornée. Pour cela, on pourra raisonner par l'absurde et considérer le wronskien d'une base de l'espace des solutions de (E).
1. u peut s'exprimer à l'aide d'une intégrale de u , qui elle-même s'exprime en fonction de f qui est intégrable et u qui est bornée. C'est donc un bon point de départ.
On a u = − f u. Cette fonction est continue (car f et u le sont). Ainsi :
u
(x) = u
(a) +
x
a
u
(t)dt .
Rien n'avait été précisé sur la continuité de u, mais n'oublions pas qu'une solution
de (E) est par définition au moins deux fois dérivable (pour que u ait un sens),
a fortiori continue !
Par ailleurs, u est intégrable comme produit de la fonction intégrable f et
de la fonction bornée u.
La fonction x ∈ [a,+∞[ →
x
a
u
(t)dt possède donc une limite finie en
+∞. Ainsi, u (x) possède une limite finie quand x tend vers +∞.
Nous obtenons une situation classique : sachant qu'une fonction est convergente,
nous devons montrer que sa limite est nulle.
Rappelons qu'il n'y a aucun théorème général faisant le lien entre le comportement
d'une fonction f et de sa dérivée f en +∞.
Il peut arriver que f soit bornée, ou même tende vers 0, mais que f ne tende pas
vers 0 (par exemple, f (x) =
sin x 2
x
pour x > 0), ou encore que f tende vers 0
sans que f soit bornée (par exemple la fonction logarithme).
Le résultat proposé ici est différent : sachant que u est bornée et que u converge, la
limite de u ne peut être que 0.
Dans une telle situation il ne faut donc jamais se lancer dans des explications plus
ou moins rigoureuses qui sont toutes vouées à l'échec mais revenir à la définition
de la limite.
Chapitre 10 • Équations différentielles
Exercice 10.8 : Utilisation du Wronskien
Soit un réel a et une application f continue et intégrable sur [a,+∞[. On considère l'équation différentielle :
(E)
y
+ f (x)y = 0
1. Soit u une solution bornée de (E). Montrer que u tend vers 0 en +∞.
2. Montrer que (E) possède une solution non bornée. Pour cela, on pourra raisonner par l'absurde et considérer le wronskien d'une base de l'espace des solutions de (E).
1. u peut s'exprimer à l'aide d'une intégrale de u , qui elle-même s'exprime en fonction de f qui est intégrable et u qui est bornée. C'est donc un bon point de départ.
On a u = − f u. Cette fonction est continue (car f et u le sont). Ainsi :
u
(x) = u
(a) +
x
a
u
(t)dt .
Rien n'avait été précisé sur la continuité de u, mais n'oublions pas qu'une solution
de (E) est par définition au moins deux fois dérivable (pour que u ait un sens),
a fortiori continue !
Par ailleurs, u est intégrable comme produit de la fonction intégrable f et
de la fonction bornée u.
La fonction x ∈ [a,+∞[ →
x
a
u
(t)dt possède donc une limite finie en
+∞. Ainsi, u (x) possède une limite finie quand x tend vers +∞.
Nous obtenons une situation classique : sachant qu'une fonction est convergente,
nous devons montrer que sa limite est nulle.
Rappelons qu'il n'y a aucun théorème général faisant le lien entre le comportement
d'une fonction f et de sa dérivée f en +∞.
Il peut arriver que f soit bornée, ou même tende vers 0, mais que f ne tende pas
vers 0 (par exemple, f (x) =
sin x 2
x
pour x > 0), ou encore que f tende vers 0
sans que f soit bornée (par exemple la fonction logarithme).
Le résultat proposé ici est différent : sachant que u est bornée et que u converge, la
limite de u ne peut être que 0.
Dans une telle situation il ne faut donc jamais se lancer dans des explications plus
ou moins rigoureuses qui sont toutes vouées à l'échec mais revenir à la définition
de la limite.