• Réduction de A
Dans la base (V 1 ,V 2 ,V 3 ) l'endomorphisme f de R 3 représenté par A dans la
base canonique a pour matrice représentative :
R =
2 1 0
0 2 0
0 0 −3
On peut donc écrire A = P R P −1 avec
P =
1 0 1
0 2 1
1 1 −1
et
P
−1
=
1
5
3 −1 2
−1 2
1
2
1 −2
• Résolution du système
Le système (S) s'écrit : X = AX = P R P −1 X , soit en posant U = P −1 X :
U
= RU .
En notant U =
u 1
u 2
u 3
le système différentiel devient donc :
u
1 = 2u 1 + u 2
u
2 = 2u 2
u
3 = −3u 3
En résolvant d'abord les deux dernières équations, puis la première, on
obtient :
u 1 (t) = (K 1 + K 2 t) e 2t
u 2 (t) = K 2 e 2t
u 3 (t) = K 3 e −3t
puis avec X = PU :
x(t) = (K 1 + K 2 t) e 2t + K 3 e −3t
y(t) = 2K 2 e 2t + K 3 e −3t
z(t) = (K 1 + K 2 + K 2 t) e 2t − K 3 e −3t
Remarquez que le calcul de P −1 ne sert pas. Il est donc inutile de le faire un jour
de concours.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
311
Chapitre 10 • Équations différentielles
Dans la base (V 1 ,V 2 ,V 3 ) l'endomorphisme f de R 3 représenté par A dans la
base canonique a pour matrice représentative :
R =
2 1 0
0 2 0
0 0 −3
On peut donc écrire A = P R P −1 avec
P =
1 0 1
0 2 1
1 1 −1
et
P
−1
=
1
5
3 −1 2
−1 2
1
2
1 −2
• Résolution du système
Le système (S) s'écrit : X = AX = P R P −1 X , soit en posant U = P −1 X :
U
= RU .
En notant U =
u 1
u 2
u 3
le système différentiel devient donc :
u
1 = 2u 1 + u 2
u
2 = 2u 2
u
3 = −3u 3
En résolvant d'abord les deux dernières équations, puis la première, on
obtient :
u 1 (t) = (K 1 + K 2 t) e 2t
u 2 (t) = K 2 e 2t
u 3 (t) = K 3 e −3t
puis avec X = PU :
x(t) = (K 1 + K 2 t) e 2t + K 3 e −3t
y(t) = 2K 2 e 2t + K 3 e −3t
z(t) = (K 1 + K 2 + K 2 t) e 2t − K 3 e −3t
Remarquez que le calcul de P −1 ne sert pas. Il est donc inutile de le faire un jour
de concours.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
311
Chapitre 10 • Équations différentielles