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Chapitre 10 • Équations différentielles
Les valeurs propres de A sont donc : 2 (double), −3 (simple).
Vérifiez que la somme des valeurs propres est égale à la trace de A.
• Recherche de l'espace propre associé à 2
L'espace propre E 2 est l'ensemble des vecteurs


a
b
c

 qui vérifient le système :



−a − 3 b + 11 c
= 10 a
−10 a + 5 b + 10 c = 10 b
9 a + 7 b + c
= 10 c
⇐⇒



a = k
b = 0
c = k
E 2 est donc la droite qui admet pour base V 1 =


1
0
1

 et A n'est pas diagonalisable.
• Recherche de V 2
Pour obtenir la forme admise pour la matrice réduite semblable à A, il faut
choisir V 2 tel que f (V 2 ) = V 1 + 2V 2 . Les coordonnées (a,b,c) de V 2 vérifient donc le système :



−a − 3 b + 11 c
= 5 + 10 a
−10 a + 5 b + 10 c =
10 b
9 a + 7 b + c
= 5 + 10 c
⇐⇒



a = k
b = 2
c = k + 1
On peut donc choisir V 2 =


0
2
1

 .
• Recherche de l'espace propre associé à −3
L'espace propre E −3 est l'ensemble des vecteurs


a
b
c

 qui vérifient le système :



−a − 3b + 11c = −15a
−10a + 5b + 10c = −15b
9a + 7b + c
= −15c
⇐⇒



a = k
b = k
c = −k
E −3 est donc la droite qui admet pour base V 3 =


1
1
−1

 .