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Chapitre 10 • Équations différentielles
En reportant le résultat obtenu pour x(t) dans la première équation du système (S), on obtient :
y(t) =
K 1
2
e
4t
− K 2 e
7t
−
1
18
e
t
−
5
28
t −
27
784
·
Exercice 10.7 : Système différentiel d'ordre 3 (A trigonalisable)
Résoudre le système différentiel :
(S)



5x = −x − 3y + 11z
5y = −10x + 5y + 10z
5z = 9x + 7y + z
Il s'agit d'un système linéaire à coefficients constants, de matrice A.
Si la matrice A est diagonalisable, la solution générale de (S) est donnée par une
formule du cours qui utilise les valeurs propres et les vecteurs propres de A.
Si A n'est pas diagonalisable, avec comme valeurs propres λ 1 d'ordre 2 et λ 2 d'ordre 1
(λ 1 = / λ 2 ), vous pouvez admettre, et utiliser, que A est semblable à la matrice :


λ 1 1 0
0 λ 1 0
0 0 λ 2

 (dite réduite de Jordan).
(S) s'écrit X = AX avec A =
1
5


−1 −3 11
−10 5 10
9
7
1

 et X =


x
y
z

 .
• Recherche des valeurs propres de A
Le polynôme caractéristique de A s'écrit :
det(A − λI 3 ) =
1
5 3
−1 − 5λ
−3
1 1
−10
5 − 5λ
10
9
7
1− 5λ
=
1
125
−1 − 5λ
−3
10− 5λ
−10
5 − 5λ
0
9
7
1 0− 5λ
C 3
C 3 + C 1
=
1
25
(2 − λ)
−1 − 5λ
−3
1
−10
5 − 5λ 0
9
7
1
=
1
25
(2 − λ)
−10 − 5λ −10 0
−10
5 − 5λ 0
9
7
1
L 1
L 1 − L 3
= −(λ − 2) 2 (λ + 3)
−→
−→