puis la résolution de ce système linéaire en x et y :

 
 
x(t) =
2a
3
e 4t +
b
3
e 7t −
5
18
e t −
1
14
t −
11
392
y(t) =
a
3
e 4t −
b
3
e 7t −
1
18
e t −
5
28
t −
27
784
• Substitution (à réserver au cas où A est d'ordre 2)
Dérivons la première équation par rapport à t, puis substituons progressivement pour obtenir une équation ne comportant plus y :
x (t) = 5x (t) − 2y (t) + e t
= 5x (t) − 2
− x(t) + 6y(t) + t
+ e t
= 5x (t) + 2x(t) + 6
x (t) − 5x(t) − e t − 2t + e t
c'est-à-dire l'équation :
x
(t) − 11x
(t) + 28x(t) = −5e
t
− 2t .
Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre, à coefficients
constants. Son équation caractéristique r 2 − 11r + 28 = 0 (regardez le
polynôme caractéristique de A) a pour racines r 1 = 4 et r 2 = 7.
La solution générale de l'équation homogène s'écrit donc :
x(t) = K 1 e
4t
+ K 2 e
7t .
Par identification, on obtient −
5
18
e t comme solution particulière de
x
(t) − 11x
(t) + 28x(t) = −5e
t ,
puis −
1
14
t −
11
392
comme solution particulière de
x
(t) − 11x
(t) + 28x(t) = −2t .
La solution générale de l'équation en x(t) est donc :
x(t) = K 1 e
4t
+ K 2 e
7t
−
5
18
e
t
−
1
14
t −
11
392
·
avec K 1 et K 2 constantes réelles quelconques.
Pour obtenir y(t), ne recommencez pas le même processus, vous obtiendriez de
nouvelles constantes intempestives.
308
Chapitre 10 • Équations différentielles