Comme P −1 B(t) =
1
3
e t + t
e t − 2t
en notant U (t) =
u(t)
v(t)
, on est
conduit au système :

 
 
u (t) = 4u(t) +
1
3
(e t + t)
v (t) = 7v(t) +
1
3
(e t − 2t)
Il s'agit de deux équations différentielles linéaires du premier ordre, dont la
résolution donne :

 
 
u(t) = K 1 e 4t −
1
9
e t −
1
12
t +
1
4
v(t) = K 2 e 7t −
1
18
e t +
2
21
t +
1
7
On en déduit la solution générale de (S) avec X (t) = PU (t) :

 
 
x(t) = 2K 1 e 4t + K 2 e 7t −
5
18
e t −
1
14
t −
11
392
y(t) = K 1 e 4t − K 2 e 7t −
1
18
e t −
5
28
t −
27
784
• Intégrales premières indépendantes (à réserver au cas où A est d'ordre 2)
Les valeurs propres de A ayant été déterminées, on introduit les systèmes :
x − 4x = x − 2y + e t
y − 4y = −x + 2y + t
qui entraîne :
(x + y)
− 4(x + y) = e
t
+ t
et :
x − 7x = −2x − 2y + e t
y − 7y = −x − y + t
qui entraîne :
(x − 2y)
− 7(x − 2y) = e
t
− 2t
La résolution des deux équations linéaires du premier ordre donne :

 
 
x + y = ae 4t −
1
3
e t −
1
4
t −
1
16
x − 2y = be 7t −
1
6
e t +
2
7
t +
2
49
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307
Chapitre 10 • Équations différentielles