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Chapitre 10 • Équations différentielles
Dans la méthode de variation des constantes, on considère alors deux fonctions
auxiliaires définies par u(t) et v(t), appartenant à C 1 (R,R), et telles que
x(t)
y(t)
= u(t)e
4t
2
1
+ v(t)e
7t
1
−1
soit solution du système (S). Cette condition est équivalente à :
u
(t)e
4t
2
1
+ v
(t)e
7t
1
−1
=
e t
t
soit au système linéaire en u (t) et v (t) dont la résolution est immédiate :
2e 4t u (t) + e 7t v (t) = e t
e 4t u (t) − e 7t v (t) = t
⇐⇒

 
 
u (t) =
1
3
e −3t +
1
3
t e −4t
v (t) =
1
3
e −6t −
2
3
t e −7t
Par calcul de primitives, en utilisant une intégration par parties, on obtient :

 
 
u(t) = −
1
9
e −3t −
1
12
t e −4t −
1
48
e −4t + A
v(t) = −
1
18
e −6t +
2
21
t e −7t +
2
147
e −7t + B
puis en reportant, et en simplifiant, la solution générale de (S) :

  
  
x(t) = 2A e 4t + B e 7t −
5
18
e t −
1
14
t −
11
392
y(t) = A e 4t − B e 7t −
1
18
e t −
5
28
t −
27
784
où A et B sont des constantes réelles quelconques.
• Diagonalisation de A
Diagonalisons A dans la base des vecteurs propres déjà écrits.
On a A = P D P −1 avec :
P =
2 1
1 −1
; D =
4 0
0 7
; P −1 =
1
3
1 1
1 −2
Le système (S) peut alors s'écrire :
X
(t) = P D P
−1 X (t) + B(t)
C'est-à-dire, en multipliant à gauche par P −1 et posant U (t) = P −1 X (t) :
U
(t) = DU (t) + P
−1 B(t)