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Chapitre 10 • Équations différentielles
Les solutions obtenues s'écrivent :
y(x) =
A 1 cos(2x) + B 1 sin(2x)
x
pour x ∈ I 1
y(x) =
A 2 cos(2x) + B 2 sin(2x)
x
pour x ∈ I 2
Pour que les limites à gauche et à droite en 0 existent il faut A 1 = A 2 = 0, et soient
égales il faut B 1 = B 2 = B.
Les fonctions ainsi prolongées par continuité sont deux fois dérivables car elles possèdent un développement en série entière, et les solutions définies sur R sont de la forme :
y(x) =
B sin(2x)
x
·
Elles constituent un espace vectoriel de dimension 1.
Exercice 10.6 : Système différentiel d'ordre 2
Résoudre le système différentiel :
(S)
x = 5x − 2y + e t
y = −x + 6y + t
Il s'agit d'un système différentiel d'ordre 1 à coefficients constants. De nombreuses
méthodes sont possibles. Quatre vont vous être proposées ; il va de soit qu'une seule
suffit lors d'une épreuve !
Le système (S) a pour écriture matricielle :
X
(t) = AX (t) + B(t)
avec : X (t) =
x(t)
y(t)
, A =
5 −2
−1 6
, B(t) =
e t
t
.
Le polynôme caractéristique de A est λ
2
− 11λ + 28.
Les valeurs propres de A sont λ 1 = 4 et λ 2 = 7. Elles sont distinctes, donc
A est diagonalisable.
Les espaces propres associés sont respectivement engendrés par V 1 =
2
1
et V 2 =
1
−1
.
• Variation des constantes
Des calculs des éléments propres déjà faits, il résulte que la solution générale du système homogène associé est :
X (t) = Ae
4t
2
1
+ Be
7t
1
−1
où A et B sont des constantes réelles quelconques.