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Chapitre 10 • Équations différentielles
On va utiliser la méthode de variation de la constante, c'est-à-dire considérer
une fonction auxiliaire u(x) telle que y(x) = u(x)
sin(2x)
x
soit solution de
(E).
En dérivant, on obtient :
y (x) = u (x)
sin(2x)
x
+ u(x)
2x cos(2x) − sin(2x)
x 2
y (x) = u (x)
sin(2x)
x
+ 2u (x)
2x cos(2x) − sin(2x)
x 2
+u(x)
−4x cos(2x) + (2 − 4x 2 ) sin(2x)
x 3
.
En reportant dans (E) et en simplifiant, on obtient :
sin(2x)u
(x) + 4 cos(2x)u
(x) = 0 .
Vous observez que u(x) a disparu, ce qui est toujours le cas dans la méthode utilisée, et constitue donc un outil d'auto-contrôle.
L'équation différentielle que nous venons d'obtenir est linéaire d'ordre 1 par
rapport à la fonction u (x).
Sur un intervalle où sin(2x) ne s'annule pas , sa solution générale est :
u (x) = A exp
−
4 cos(2x)
sin(2x)
dx
= A exp
− 2 ln|sin(2x)|
= A
1
sin
2
(2x)
où A est une constante réelle quelconque.
On en déduit u(x) par un calcul de primitives : u(x) =
A
2
cot(2x) + B
La solution générale de (E) sur un intervalle où sin(2x) ne s'annule pas
est donc :
y(x) = u(x)
sin(2x)
x
=
A cos(2x) + B sin(2x)
x
·
En fait la solution générale obtenue convient sur I 1 =] − ∞,0[ et sur
I 2 =]0,+∞[. Sur chacun de ces deux intervalles, l'ensemble des solutions
constitue bien un espace vectoriel de dimension 2.
On peut se demander, à titre de question supplémentaire, s'il existe des solutions
prolongeables sur R.