Cherchons une solution sous la forme y(x) =
+∞
n=0
a n x
n , sous réserve que
le rayon de convergence soit non nul.
On a y (x) =
+∞
n=1
n a n x
n−1 et y (x) =
+∞
n=2
n (n − 1) a n x
n−2 .
En reportant dans l'équation différentielle, on obtient :
0 =
+∞
n=2
n (n − 1) a n x
n−1
+ 2
+∞
n=1
n a n x
n−1
+ 4
+∞
n=0
a n x
n+1
=
+∞
n=1
(n + 1) n a n+1 x
n
+ 2
+∞
n=0
(n + 1) a n+1 x
n
+ 4
+∞
n=1
a n−1 x
n
= 2a 1 +
+∞
n=1
(n + 2) (n + 1) a n+1 + 4 a n−1
x
n
.
La série précédente a pour somme la fonction nulle si, et seulement si, tous
ses coefficients sont nuls. Il en résulte :
a 1 = 0 et a n =
−4
(n + 1)n
a n−2 pour tout n 2.
En distinguant les cas n pair et n impair, on en déduit (après une récurrence
immédiate) :
a 2 p+1 = 0, a 2 p =
(−1) p 4 p
(2 p + 1)!
a 0 .
Les solutions de (E) développables en séries entières peuvent donc s'écrire :
y(x) = a 0
+∞
p=0
(−1) p 4 p
(2 p + 1)!
x
2 p .
Et la série écrite a un rayon de convergence infini, ce qui justifie a posteriori la possibilité de dériver.
On obtient ainsi un espace vectoriel de dimension 1, qui n'est donc pas l'ensemble
des solutions de (E). Pour continuer, il faut absolument écrire la série entière cidessus avec les fonctions usuelles.
On vient d'obtenir une solution particulière de l'équation (homogène) qui est :
+∞
p=0
(−1) p 4 p
(2 p + 1)!
x
2 p
=
+∞
p=0
(−1) p
(2 p + 1)!
(2x)
2 p
=
1
2x
+∞
p=0
(−1) p
(2 p + 1)!
(2x)
2 p+1
=
1
2
sin(2x)
x
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Chapitre 10 • Équations différentielles