Pour exprimer y(x) à l'aide de fonctions usuelles, écrivons successivement :
+∞
p=0
( p + 1)x
2 p
=
1
2x
+∞
p=0
(2 p + 2) x
2 p+1
=
1
2x
p0
x
2 p+2
=
1
2x
x 2
1 − x 2
=
1
(1 − x 2 ) 2 ·
+∞
p=0
(2 p + 3)x
2 p+1
=
1
x
+∞
p=0
(2 p + 3) x
2 p+2
=
1
x
x 3
1 − x 2
=
x (3 − x 2 )
(1 − x 2 ) 2 ·
La solution générale dans l'intervalle ] − 1,1[ est donc :
y(x) =
A + Bx (3 − x 2 )
(1 − x 2 ) 2
·
Cette fonction est également solution dans les autres intervalles.
Exercice 10.5 : Utilisation de séries entières (cas singulier)
En utilisant les séries entières, résoudre l'équation différentielle :
(E) x y (x) + 2 y (x) + 4 x y(x) = 0.
Exprimer les solutions à l'aide de fonctions usuelles.
Dans tout intervalle où x = / 0, l'équation différentielle est équivalente à :
y
(x) +
2
x
y
(x) +
4
x
y(x) = 0 .
Les coefficients p(x) =
2
x
et q(x) =
4
x
sont tels que x p(x) = 2 et x 2 q(x) = 4 x
sont développables en séries entières. Dans ce cas, vous pouvez savoir qu'on peut
chercher une solution sous la forme :
y(x) = x r
+∞
n=0
c n x
n
=
+∞
n=0
c n x
n+r avec c 0 = / 0,
avec r à déterminer. Essayez.
Mais vous devez savoir que, sur chacun des intervalles ] − ∞,0[ ou ]0,+∞[, les
solutions forment un espace vectoriel de dimension 2. Donc si la recherche des solutions développables en séries entières conduit à un tel espace, c'est que vous avez
toutes les solutions; sinon il faudra continuer. C'est cette méthode qui est conforme
à votre programme et donc que nous allons développer.
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Chapitre 10 • Équations différentielles