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Chapitre 10 • Équations différentielles
On a y (x) =
+∞
n=1
n a n x
n−1 et y (x) =
+∞
n=2
n (n − 1) a n x
n−2 .
En reportant dans l'équation différentielle, on obtient :
0 =
+∞
n=2
n (n − 1) a n x
n−2
−
+∞
n=2
n (n − 1) a n x
n
−6
+∞
n=1
n a n x
n
− 4
+∞
n=0
a n x
n
=
+∞
n=0
(n + 2) (n + 1) a n+2 x
n
−
+∞
n=2
n (n − 1) a n x
n
−6
+∞
n=1
n a n x
n
− 4
+∞
n=0
a n x
n
=
+∞
n=0
(n + 2) (n + 1) a n+2 − (n + 1) (n + 4) a n
x
n
.
La série précédente a pour somme la fonction nulle si, et seulement si, tous
ses coefficients sont nuls. Il en résulte :
a n+2 =
n + 4
n + 2
a n pour tout n 0, avec a 0 et a 1 quelconques.
En distinguant les cas n pair et impair, on en déduit :
a 2 p = ( p + 1) a 0 , a 2 p+1 =
2 p + 3
3
a 1 ;
d'où la forme générale des solutions développables en série entière :
y(x) = a 0
+∞
p=0
( p + 1)x
2 p
+
a 1
3
+∞
p=0
(2 p + 3) x
2 p+1
Le rayon de convergence de chacune des séries est égal à 1, puisque :
lim
n→∞
a n+2 x n+2
a n x n
= lim
n→∞
n + 4
n + 2
|x|
2
= |x|
2 .
Le rayon de convergence R de la série représentant y(x) vérifie donc
R 1, et la représentation obtenue est valable, dans tous les cas, dans
] − 1,1[.
Comme l'ensemble des solutions obtenues dépend de deux constantes réelles,
c'est un espace vectoriel de dimension 2 : on a ainsi toutes les solutions.